ALEXANDRIE (ÉCOLE MATHÉMATIQUE D’)

ALEXANDRIE (ÉCOLE MATHÉMATIQUE D’)

Les débuts des travaux mathématiques des Alexandrins nous sont mal connus. Ils appartiennent à des mathématiciens déjà confirmés, recrutés par les deux premiers Ptolémées dans les divers centres scientifiques grecs. Ils sont donc directement rattachés aux travaux des savants du IV^e siècle avant J.-C., platoniciens, aristotéliciens, disciples d’Eudoxe, ou encore à ceux des pythagoriciens. Ils ont été surtout, au départ, une synthèse et une mise en ordre.

L’École a pris ensuite, et dès le début du III^e siècle, une personnalité propre. Elle est devenue le foyer principal des mathématiques grecques, qui ont fini par s’identifier avec elle. Surtout, elle a été le centre de recherche et d’enseignement qui eut la plus grande durée, à peu près continue jusqu’au début du V^e siècle de notre ère.

Les générations

Il est de tradition de rattacher aux débuts de l’École le géomètre Euclide. Mais nous ne savons rien de positif sur ce savant qui est cité pour la première fois par Apollonios, vers la fin du III^e siècle avant J.-C. Il se pourrait aussi, sans certitude, que l’astronome Aristarque ait appartenu au milieu alexandrin. En tout cas son compatriote et contemporain Conon de Samos en fut un des ornements. C’est avec ce dernier, astronome et mathématicien, qu’Archimède a correspondu. Avant son décès, le grand savant de Syracuse envoya ses mémoires à Dosithée puis à Ératosthène. Rien ne permet cependant d’affirmer qu’Archimède ait étudié à Alexandrie. Tout au plus, si l’on en croit Diodore de Sicile, y aurait-il séjourné.

À la génération suivante, nous savons, par son propre témoignage, qu’Apollonios de Perge a vécu et travaillé dans la métropole des Ptolémées. Grâce à lui, quelques noms sont d’ailleurs sauvés de l’oubli: Naucrate, qui visita Alexandrie et auquel il remit une première édition de son traité des Coniques, Trasydée, pour lequel Conon écrivit un de ses ouvrages, Nicotelès, qui critiqua violemment ce travail de Conon. Il ne semble cependant pas qu’Apollonios ait toujours séjourné à Alexandrie ou qu’il y ait été bien en cour. Il dédie en effet ses Coniques à son collègue Eudème de Pergame, puis à Attale (peut-être le futur roi Attale II de Pergame).

Après Apollonios et son fils, nous trouvons à Alexandrie Hypsiclès qui nous parle de son père, contemporain d’Apollonios, de Basilidès de Tyr, qui rendit visite à ce père, et d’Aristée; mais il serait difficile de savoir si les mathématiciens du II^e siècle dont les noms, grâce à Pappus, nous sont conservés – Zénodore, Nikomédès, Dioklès, Persée, Dionysodore – ont ou non vécu à Alexandrie.

Nous rencontrons ensuite le grand nom d’Hipparque, qui se livra à des observations astronomiques à Rhodes et à Alexandrie entre 161 et 127 et qui se rattache au Musée, dont faisaient sans doute encore partie Théodose de Tripoli et Ménélaos. Mais aucun doute n’est possible pour Ptolémée – observations astronomiques entre 125 et 141 de notre ère – Héron, Diophante, Pappus puis Théon d’Alexandrie et sa fille Hypatie, morte en 415.

Une des principales activités des géomètres alexandrins fut l’enseignement. Cet enseignement poursuivait, en gros, trois buts distincts: la formation d’ingénieurs et de mécaniciens; la formation d’astronomes; enfin celle de mathématiciens purs. D’où trois niveaux d’enseignement sur lesquels il nous reste heureusement des documents incontestables.

La formation des ingénieurs

Pour les ingénieurs, arpenteurs, architectes, nous avons l’abondante collection héronienne, souvent apocryphe, et de niveau généralement très bas, qui nous a été conservée par les Byzantins. Elle s’élève cependant dans les Métriques de Héron à des connaissances très honorables, comparables à celles de nos bacheliers. Bien que cet ouvrage soit du I^er ou du II^e siècle de notre ère, il traite d’un domaine très stable à travers les âges et correspond, à peu de choses près, à ce qui était déjà enseigné au III^e siècle avant J.-C. Le fonds en est constitué par les livres géométriques des Éléments d’Euclide, accrus des résultats obtenus par Archimède. Mais il vise plus à l’efficacité qu’à la rigueur. Il porte sur les mesures des aires et des volumes et sur la géodésie ou partage des aires. Pour cette dernière partie, d’ailleurs, il s’apparente étroitement au traité de la Division attribué à Euclide et qui nous a été conservé par les Arabes. Les Métriques et leurs pâles contrefaçons présentent une étroite union du calcul approché et des résultats de la géométrie élémentaire. Les calculs s’y font soit au moyen des fractions, soit au moyen des quantièmes de la tradition égyptienne, c’est-à-dire des inverses des nombres entiers. Elles nous ont conservé les techniques «héroniennes» d’extraction approchée des racines carrées et des racines cubiques, techniques élégantes qui gardent encore de leur efficacité.

L’astronomie

La formation des astronomes semble avoir demandé des études plus poussées. Nous pouvons nous en faire une idée grâce à la collection appelée la Petite Astronomie conservée surtout par la tradition arabe, mais dont Pappus nous donne de précieux commentaires. Nous trouvons dans cette collection des traités de géométrie plane comme les Données d’Euclide, les Lemmes d’Archimède et sa mesure du cercle, des traités de la géométrie de la sphère comme les Sphériques de Théodose et de Ménélaos, la Sphère en mouvement d’Autolycus de Pitane (IV^e s. av. J.-C.), les Phénomènes d’Euclide, des traités plus directement astronomiques comme Les Jours et les nuits de Théodose, Les Levers et couchers des étoiles d’Autolycus, Les Ascensions d’Hypsiclès, Les Grandeurs et les distances du Soleil et de la Lune d’Aristarque.

Déjà avec Hypsiclès et surtout à partir d’Hipparque, les calculs astronomiques sont faits dans un système de numération à base 60 dérivé de la numération babylonienne. Les entiers sont écrits dans le système littéral grec. Cette numération mixte gréco-babylonienne est le fait de l’école alexandrine. Très souple, elle sera ultérieurement adoptée par les astronomes arabes. Lorsque l’écriture hindoue des nombres entiers – la nôtre – fut introduite en Occident, le système alexandrin s’y adapta très aisément, la base 60 restant la base fondamentale. Ce n’est qu’avec Viète et Stevin que la numération décimale prolongée du côté décimal commencera à s’imposer. Encore subsiste-t-il, aujourd’hui, quelques résidus de l’ancienne numération alexandro-babylonienne.

La mathématique alexandrine

L’enseignement supérieur des mathématiques comprenait évidemment la lecture commentée des écrits majeurs des grands classiques: Éléments d’Euclide, ouvrages d’Archimède, traités des Coniques d’Euclide d’abord, d’Apollonios ensuite. Nous savons par exemple que Théodose commenta la Méthode mécanique (ou Lettre à Ératosthène ) d’Archimède, que Théon d’Alexandrie procura de nouvelles éditions des Éléments et que sa fille Hypathie donna un commentaire des Coniques d’Apollonios.

Mais, à côté de ces grands traités, et à un niveau légèrement inférieur, celui de nos propédeutiques, Pappus nous a conservé tout au moins des analyses d’ouvrages, remarquables, de didactique et d’heuristique mathématiques. Cet ensemble impressionnant constitue le livre VII de sa «collection»: Données et Porismes d’Euclide; Section d’aire , Section de rapport , Contacts , Inclinaisons , Lieux plans d’Apollonios; Lieux solides d’Aristée; Lieux à la surface d’Euclide.

Nous devons à l’école alexandrine, d’abord en géométrie, une technique analytique remarquable que Zeuthen a appelée l’«algèbre géométrique» des Grecs. Elle est, de nos jours, complètement tombée en désuétude, remplacée avantageusement par l’analyse de Viète et de Descartes. Il est cependant indispensable de la connaître pour lire les grands classiques grecs.

Mais c’est encore à cette école que l’on doit un autre aspect de l’analyse représenté par les Arithmétiques de Diophante d’Alexandrie. Il s’agit de l’analyse indéterminée, dite de nos jours encore «analyse diophantienne». Ses procédés sont identiques à ceux de notre algèbre élémentaire quant aux fondements. Elle ne s’applique qu’aux nombres rationnels. Bien que les Arithmétiques soient un ouvrage tardif, cette analyse devait être cultivée dès les débuts de l’École, où son rôle éducatif était loin d’être négligeable. C’est la confrontation par Viète et ses émules des deux courants alexandrins – analyse géométrique représentée par Pappus, analyse «numéreuse» de Diophante – qui amena la naissance de la mathématique moderne.

Cependant, les astronomes alexandrins, Hipparque et Ptolémée entre autres, nous ont apporté la première étude sérieuse de fonctions transcendantes, la trigonométrie. Le premier traité de cette nouvelle science figure au livre I de l’Almageste de Ptolémée (chap. 9). Le traité comporte, en plus de considérations théoriques, des tables de cordes d’arcs de cercle, nos tables de sinus. Ce sont des tables remarquables par leur exactitude. On y trouve pour 神 la valeur approchée 3-8-30 (en écriture sexagésimale), la meilleure approximation possible avec trois places sexagésimales.

Ainsi l’école alexandrine a-t-elle rendu des services éclatants aux mathématiques pendant plus de sept siècles d’activité, dont les plus brillants sont sans conteste les III^e et II^e siècles avant notre ère.

Cette période de création fut suivie de longs travaux plus obscurs mais qui ont eu leur efficacité. Ils nous ont conservé les chefs-d’œuvre grecs, et cela seul serait déjà beaucoup. Ils les ont enrichis sur quelques points de remarques ingénieuses, mais ils ont surtout, en algèbre, en trigonométrie plane et sphérique et dans le calcul numérique, apporté une contribution originale autant qu’utile.

Encyclopédie Universelle. 2012.